柏拉图:我参透了爱情,却搞不懂为什么只有五种正多面体!

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  欧拉错了

  柯西对了

  为什么正多面体只有五种?

  这个问题困扰了柏拉图一生,让笛卡尔少了一个命名机会,差点让欧拉大神犯错,却彰显了柯西数学的逆天天赋!

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  柏拉图立体

  公元前387年,古希腊著名的哲学家亚里斯多克勒斯,也就是我们熟悉的柏拉图,因为一次偶然的机会喜欢上了研究几何。

  据说柏拉图为了深入研究几何,还专门在雅典西北郊外陶器区的柏拉图学院门口立着一块“不懂几何者,不得入内”的牌子。

  经过深入研究,他发现只存在五种正多面体,分别是正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,后来也被称为“柏拉图立体”。

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  即使柏拉图很痴迷地研究,时不时有各路的学者前来交流探讨,但始终无法用严谨的方式去证明,只存在五个正多面体这个结论。

  直到柏拉图去世,也没有人提出严谨的证明方法。

  欧拉“抢注商标”

  直到1750年,瑞士的数学大神欧拉,在多面体的研究上取得进展,这个神一样的男人果然不简单。

  他提出了“欧拉多面体定理”:如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是E、面数是F,那么它们总有这样的关系:F+V-E=2,并且给出了证明。其中,F+V-E=2为欧拉公式。

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  其实,早在1635年,法国著名的科学家笛卡尔在研究多面体的时候,就通过不完全归纳法,发现了多面体存在一个关系:面+棱-顶点=2,也就欧拉定理。

  可惜的是,笛卡尔因为没有严谨的证明,所以没有发表,后人在整理它的手稿时候才发现。

  因此,笛卡尔少了一个定理,欧拉“抢注”成功,

  当然这也没有阻止笛卡尔成为伟大的科学家。

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  本以为欧拉已经把证明多面体存在F+V-E=2关系的问题完全就解决了,但让人意外的是,随着初等几何的继续发展,欧拉的证明被指出存在问题,人们开始重新去寻找严密的证明方法。

  过了半个世纪,天才数学家柯西横空出世,在1809年,20岁的柯西用一个简单的方法严密地证明了这个问题!

  20岁柯西天赋异禀

  柯西,是法国巴黎伟大的科学家,他的出身不得了,他的父亲是精通古典文学的律师,同时和著名的数学家拉格朗日、普拉普斯是好朋友。

  柯西遗传了父亲强大的基因,不过是表现在数学上,他的数学天赋在少年时期就已经展露,他父亲的朋友拉格朗日、普拉普斯都很欣赏,并预言他以后会是个伟大的人。

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  果不其然,柯西在20岁就提出了一个证明欧拉公式:F+V-E=2的严谨方法!

  他是通过去面擦棱除角的方法,证明F+V-E=2的,我们以正六面体为例子,看看柯西是如何证明的:

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  20岁的柯西提出了这个严密的证明,不得不感叹他惊人的数学天赋!

  经过严密证明后的欧拉公式,也为后面迅速发展的拓扑学打下了很好的基础!

  回想起来,20岁的超模君还在校园看别人恋爱呢。

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  正多面体只有五种

  欧拉公式得到严密的证明后,柏拉图“只存在五种正多面体”的问题还没有得到解决。于是,人们继续探索。

  不久,只存在五个正多面体的命题被证实。用欧拉公式证明“只存在五个正多面体”的方法很多,下面提供一个供参考:

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  经历了两千年的发展、几代数学大师的探讨,当年困扰柏拉图一生的问题终于得以解开。

  但这远远不也是终点!

  虽然证明了在三维空间里只存在五种正多面体,但我们想一想,在四维空间会不会只存在五个正多面体呢,五维空间呢......n维空间呢?

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  本文系网易新闻·网易号“各有态度”特色内容

  “超级数学建模”(微信号supermodeling),每天学一点小知识,轻松了解各种思维,做个好玩的理性派。

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  欧拉错了

  柯西对了

  为什么正多面体只有五种?

  这个问题困扰了柏拉图一生,让笛卡尔少了一个命名机会,差点让欧拉大神犯错,却彰显了柯西数学的逆天天赋!

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  柏拉图立体

  公元前387年,古希腊著名的哲学家亚里斯多克勒斯,也就是我们熟悉的柏拉图,因为一次偶然的机会喜欢上了研究几何。

  据说柏拉图为了深入研究几何,还专门在雅典西北郊外陶器区的柏拉图学院门口立着一块“不懂几何者,不得入内”的牌子。

  经过深入研究,他发现只存在五种正多面体,分别是正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,后来也被称为“柏拉图立体”。

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  即使柏拉图很痴迷地研究,时不时有各路的学者前来交流探讨,但始终无法用严谨的方式去证明,只存在五个正多面体这个结论。

  直到柏拉图去世,也没有人提出严谨的证明方法。

  欧拉“抢注商标”

  直到1750年,瑞士的数学大神欧拉,在多面体的研究上取得进展,这个神一样的男人果然不简单。

  他提出了“欧拉多面体定理”:如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是E、面数是F,那么它们总有这样的关系:F+V-E=2,并且给出了证明。其中,F+V-E=2为欧拉公式。

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  其实,早在1635年,法国著名的科学家笛卡尔在研究多面体的时候,就通过不完全归纳法,发现了多面体存在一个关系:面+棱-顶点=2,也就欧拉定理。

  可惜的是,笛卡尔因为没有严谨的证明,所以没有发表,后人在整理它的手稿时候才发现。

  因此,笛卡尔少了一个定理,欧拉“抢注”成功,

  当然这也没有阻止笛卡尔成为伟大的科学家。

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  本以为欧拉已经把证明多面体存在F+V-E=2关系的问题完全就解决了,但让人意外的是,随着初等几何的继续发展,欧拉的证明被指出存在问题,人们开始重新去寻找严密的证明方法。

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  20岁柯西天赋异禀

  柯西,是法国巴黎伟大的科学家,他的出身不得了,他的父亲是精通古典文学的律师,同时和著名的数学家拉格朗日、普拉普斯是好朋友。

  柯西遗传了父亲强大的基因,不过是表现在数学上,他的数学天赋在少年时期就已经展露,他父亲的朋友拉格朗日、普拉普斯都很欣赏,并预言他以后会是个伟大的人。

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  果不其然,柯西在20岁就提出了一个证明欧拉公式:F+V-E=2的严谨方法!

  他是通过去面擦棱除角的方法,证明F+V-E=2的,我们以正六面体为例子,看看柯西是如何证明的:

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  经过严密证明后的欧拉公式,也为后面迅速发展的拓扑学打下了很好的基础!

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  正多面体只有五种

  欧拉公式得到严密的证明后,柏拉图“只存在五种正多面体”的问题还没有得到解决。于是,人们继续探索。

  不久,只存在五个正多面体的命题被证实。用欧拉公式证明“只存在五个正多面体”的方法很多,下面提供一个供参考:

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  虽然证明了在三维空间里只存在五种正多面体,但我们想一想,在四维空间会不会只存在五个正多面体呢,五维空间呢......n维空间呢?

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  本文系网易新闻·网易号“各有态度”特色内容

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